基本代数和微积分

Sage 能够进行多种与基本代数和微积分相关的计算,例如求解方程、微分、积分和拉普拉斯变换。 更多示例,请参阅 Sage Constructions

在所有这些示例中,函数中的变量都需要使用 var(...) 定义。例如:

sage: u = var('u')
sage: diff(sin(u), u)
cos(u)
>>> from sage.all import *
>>> u = var('u')
>>> diff(sin(u), u)
cos(u)

如果遇到 NameError 错误,请检查是否拼写错误,或者是否忘记使用 var(...) 定义变量。

求解方程

精确求解方程

solve 函数用于求解方程。使用时,首先定义变量; 然后将方程(或方程组)和需要求解的变量作为 solve 的参数:

sage: x = var('x')
sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x)
[x == -2, x == -1]
>>> from sage.all import *
>>> x = var('x')
>>> solve(x**Integer(2) + Integer(3)*x + Integer(2), x)
[x == -2, x == -1]

你可以求解一元方程,其他变量作为参数:

sage: x, b, c = var('x b c')
sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x)
[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]
>>> from sage.all import *
>>> x, b, c = var('x b c')
>>> solve([x**Integer(2) + b*x + c == Integer(0)],x)
[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]

你也可以求解多元方程:

sage: x, y = var('x, y')
sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y)
[[x == 5, y == 1]]
>>> from sage.all import *
>>> x, y = var('x, y')
>>> solve([x+y==Integer(6), x-y==Integer(4)], x, y)
[[x == 5, y == 1]]

以下是由 Jason Grout 提供的使用 Sage 求解非线性方程组的示例: 首先,我们符号化地求解该方程组:

sage: var('x y p q')
(x, y, p, q)
sage: eq1 = p+q==9
sage: eq2 = q*y+p*x==-6
sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24
sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)
[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]
>>> from sage.all import *
>>> var('x y p q')
(x, y, p, q)
>>> eq1 = p+q==Integer(9)
>>> eq2 = q*y+p*x==-Integer(6)
>>> eq3 = q*y**Integer(2)+p*x**Integer(2)==Integer(24)
>>> solve([eq1,eq2,eq3,p==Integer(1)],p,q,x,y)
[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]

对于解的数值近似,可以使用:

sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)
sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns]
[[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
 [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]
>>> from sage.all import *
>>> solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==Integer(1)],p,q,x,y, solution_dict=True)
>>> [[s[p].n(Integer(30)), s[q].n(Integer(30)), s[x].n(Integer(30)), s[y].n(Integer(30))] for s in solns]
[[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
 [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]

(函数 n 用于打印数值近似,参数是精度的位数。)

数值求解方程

很多时候,solve 无法找到指定方程或方程组的精确解。 此时可以使用 find_root 找到数值解。 例如,solve 对以下方程没有返回任何有意义的结果:

sage: theta = var('theta')
sage: solve(cos(theta)==sin(theta), theta)
[sin(theta) == cos(theta)]
>>> from sage.all import *
>>> theta = var('theta')
>>> solve(cos(theta)==sin(theta), theta)
[sin(theta) == cos(theta)]

另一方面,可以使用 find_root 在区间 \(0 < \phi < \pi/2\) 内找到上述方程的解:

sage: phi = var('phi')
sage: find_root(cos(phi)==sin(phi),0,pi/2)
0.785398163397448...
>>> from sage.all import *
>>> phi = var('phi')
>>> find_root(cos(phi)==sin(phi),Integer(0),pi/Integer(2))
0.785398163397448...

微分、积分及其他

Sage 可以对许多函数进行微分和积分。 例如,对 \(\sin(u)\) 相对于 \(u\) 进行微分,可以这样做:

sage: u = var('u')
sage: diff(sin(u), u)
cos(u)
>>> from sage.all import *
>>> u = var('u')
>>> diff(sin(u), u)
cos(u)

计算 \(\sin(x^2)\) 的四阶导数:

sage: diff(sin(x^2), x, 4)
16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)
>>> from sage.all import *
>>> diff(sin(x**Integer(2)), x, Integer(4))
16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)

分别计算 \(x^2+17y^2\) 相对于 \(x\)\(y\) 的偏导数:

sage: x, y = var('x,y')
sage: f = x^2 + 17*y^2
sage: f.diff(x)
2*x
sage: f.diff(y)
34*y
>>> from sage.all import *
>>> x, y = var('x,y')
>>> f = x**Integer(2) + Integer(17)*y**Integer(2)
>>> f.diff(x)
2*x
>>> f.diff(y)
34*y

接下来讨论积分,包括不定积分和定积分。计算 \(\int x\sin(x^2)\, dx\)\(\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\, dx\)

sage: integral(x*sin(x^2), x)
-1/2*cos(x^2)
sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)
1/2*log(2)
>>> from sage.all import *
>>> integral(x*sin(x**Integer(2)), x)
-1/2*cos(x^2)
>>> integral(x/(x**Integer(2)+Integer(1)), x, Integer(0), Integer(1))
1/2*log(2)

计算 \(\frac{1}{x^2-1}\) 的部分分式分解:

sage: f = 1/((1+x)*(x-1))
sage: f.partial_fraction(x)
-1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)
>>> from sage.all import *
>>> f = Integer(1)/((Integer(1)+x)*(x-Integer(1)))
>>> f.partial_fraction(x)
-1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)

求解微分方程

你可以用 Sage 来研究常微分方程。 求解方程 \(x'+x-1=0\)

sage: t = var('t')    # define a variable t
sage: x = function('x')(t)   # define x to be a function of that variable
sage: DE = diff(x, t) + x - 1
sage: desolve(DE, [x,t])
(_C + e^t)*e^(-t)
>>> from sage.all import *
>>> t = var('t')    # define a variable t
>>> x = function('x')(t)   # define x to be a function of that variable
>>> DE = diff(x, t) + x - Integer(1)
>>> desolve(DE, [x,t])
(_C + e^t)*e^(-t)

这里使用 Sage 与 Maxima [Max] 的接口,因此其输出可能与其他 Sage 输出有所不同。 上面示例中,输出表示该微分方程的一般解是 \(x(t) = e^{-t}(e^{t}+c)\)

你还可以计算拉普拉斯变换; 计算 \(t^2e^t -\sin(t)\) 的拉普拉斯变换如下:

sage: s = var("s")
sage: t = var("t")
sage: f = t^2*exp(t) - sin(t)
sage: f.laplace(t,s)
-1/(s^2 + 1) + 2/(s - 1)^3
>>> from sage.all import *
>>> s = var("s")
>>> t = var("t")
>>> f = t**Integer(2)*exp(t) - sin(t)
>>> f.laplace(t,s)
-1/(s^2 + 1) + 2/(s - 1)^3

这里是一个更复杂的示例。左侧连接到墙上的耦合弹簧的平衡位移

|------\/\/\/\/\---|mass1|----\/\/\/\/\/----|mass2|
         spring1               spring2

由二阶微分方程组建模

\[ \begin{align}\begin{aligned}m_1 x_1'' + (k_1+k_2) x_1 - k_2 x_2 = 0\\m_2 x_2''+ k_2 (x_2-x_1) = 0,\end{aligned}\end{align} \]

其中 \(m_{i}\) 是物体 i 的质量,\(x_{i}\) 是质量 i 的平衡位移,\(k_{i}\) 是弹簧 i 的弹簧常数。

示例: 使用 Sage 求解上述问题,其中 \(m_{1}=2\), \(m_{2}=1\), \(k_{1}=4\), \(k_{2}=2\), \(x_{1}(0)=3\), \(x_{1}'(0)=0\), \(x_{2}(0)=3\), \(x_{2}'(0)=0\).

解:对第一个方程进行拉普拉斯变换(符号 \(x=x_{1}\), \(y=x_{2}\)):

sage: t,s = SR.var('t,s')
sage: x = function('x')
sage: y = function('y')
sage: f = 2*x(t).diff(t,2) + 6*x(t) - 2*y(t)
sage: f.laplace(t,s)
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)
>>> from sage.all import *
>>> t,s = SR.var('t,s')
>>> x = function('x')
>>> y = function('y')
>>> f = Integer(2)*x(t).diff(t,Integer(2)) + Integer(6)*x(t) - Integer(2)*y(t)
>>> f.laplace(t,s)
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

输出虽然难以阅读,但其表示

\[-2x'(0) + 2s^2 \cdot X(s) - 2sx(0) - 2Y(s) + 6X(s) = 0\]

(其中小写函数如 \(x(t)\) 的拉普拉斯变换是大写函数 \(X(s)\))。 对第二个方程进行拉普拉斯变换:

sage: de2 = maxima("diff(y(t),t, 2) + 2*y(t) - 2*x(t)")
sage: lde2 = de2.laplace("t","s"); lde2.sage()
s^2*laplace(y(t), t, s) - s*y(0) - 2*laplace(x(t), t, s) + 2*laplace(y(t), t, s) - D[0](y)(0)
>>> from sage.all import *
>>> de2 = maxima("diff(y(t),t, 2) + 2*y(t) - 2*x(t)")
>>> lde2 = de2.laplace("t","s"); lde2.sage()
s^2*laplace(y(t), t, s) - s*y(0) - 2*laplace(x(t), t, s) + 2*laplace(y(t), t, s) - D[0](y)(0)

这表示

\[-Y'(0) + s^2Y(s) + 2Y(s) - 2X(s) - sy(0) = 0.\]

代入初始条件 \(x(0)\), \(x'(0)\), \(y(0)\), 和 \(y'(0)\), 并求解所得的两个方程:

sage: var('s X Y')
(s, X, Y)
sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
sage: solve(eqns, X,Y)
[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
  Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]
>>> from sage.all import *
>>> var('s X Y')
(s, X, Y)
>>> eqns = [(Integer(2)*s**Integer(2)+Integer(6))*X-Integer(2)*Y == Integer(6)*s, -Integer(2)*X +(s**Integer(2)+Integer(2))*Y == Integer(3)*s]
>>> solve(eqns, X,Y)
[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
  Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]

此时进行逆拉普拉斯变换即可得到答案:

sage: var('s t')
(s, t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
cos(2*t) + 2*cos(t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
-cos(2*t) + 4*cos(t)
>>> from sage.all import *
>>> var('s t')
(s, t)
>>> inverse_laplace((Integer(3)*s**Integer(3) + Integer(9)*s)/(s**Integer(4) + Integer(5)*s**Integer(2) + Integer(4)),s,t)
cos(2*t) + 2*cos(t)
>>> inverse_laplace((Integer(3)*s**Integer(3) + Integer(15)*s)/(s**Integer(4) + Integer(5)*s**Integer(2) + Integer(4)),s,t)
-cos(2*t) + 4*cos(t)

因此,解为

\[x_1(t) = \cos(2t) + 2\cos(t), \quad x_2(t) = 4\cos(t) - \cos(2t).\]

可以使用参数方式绘制函数图像

sage: t = var('t')
sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),
....:     (t, 0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.9))
sage: show(P)
>>> from sage.all import *
>>> t = var('t')
>>> P = parametric_plot((cos(Integer(2)*t) + Integer(2)*cos(t), Integer(4)*cos(t) - cos(Integer(2)*t) ),
...     (t, Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.9')))
>>> show(P)

也可以分开绘制两个函数的图像

sage: t = var('t')
sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.3))
sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1 + p2)
>>> from sage.all import *
>>> t = var('t')
>>> p1 = plot(cos(Integer(2)*t) + Integer(2)*cos(t), (t,Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.3')))
>>> p2 = plot(Integer(4)*cos(t) - cos(Integer(2)*t), (t,Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.6')))
>>> show(p1 + p2)

有关绘图的更多信息,请参见 绘图。 有关微分方程的更多信息,请参见 [NagleEtAl2004] 的第 5.5 节。

欧拉法求解微分方程组

在下一个示例中,我们将演示欧拉法求解一阶和二阶常微分方程。 首先回顾一下一阶方程的基本思想。给定初值问题的形式为

\[y'=f(x,y), \quad y(a)=c,\]

我们要找到解在 \(x=b\) 处的近似值,其中 \(b>a\)

回顾导数的定义

\[y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},\]

其中 \(h>0\) 是一个给定且极小的数。 结合微分方程可以得到 \(f(x,y(x))\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}\)。 现在求解 \(y(x+h)\):

\[y(x+h) \approx y(x) + h\cdot f(x,y(x)).\]

如果我们把 \(h \cdot f(x,y(x))\) 称为“校正项”(因为没有更好的名称), 把 \(y(x)\) 称为“\(y\) 的旧值”, 把 \(y(x+h)\) 称为“\(y\) 的新值”, 那么这个近似可以重新表示为

\[y_{new} \approx y_{old} + h\cdot f(x,y_{old}).\]

如果我们将从 \(a\)\(b\) 的区间分成 \(n\) 步, 使得 \(h=\frac{b-a}{n}\),那么我们可以在表中记录此方法的信息。

\(x\)

\(y\)

\(h\cdot f(x,y)\)

\(a\)

\(c\)

\(h\cdot f(a,c)\)

\(a+h\)

\(c+h\cdot f(a,c)\)

...

\(a+2h\)

...

...

\(b=a+nh\)

???

...

我们的目标是逐行填满表中的所有空白,直到到达 ??? 条目,这就是欧拉法对 \(y(b)\) 的近似值。

求解微分方程组的思想与之类似。

示例: 数值近似 \(z(t)\)\(t=1\) 处的值,使用欧拉法的 4 个步骤, 其中 \(z''+tz'+z=0\), \(z(0)=1\), \(z'(0)=0\)

我们必须将二阶常微分方程简化为两个一阶常微分方程组(使用 \(x=z\), \(y=z'\))并应用欧拉法:

sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022
>>> from sage.all import *
>>> t,x,y = PolynomialRing(RealField(Integer(10)),Integer(3),"txy").gens()
>>> f = y; g = -x - y * t
>>> eulers_method_2x2(f,g, Integer(0), Integer(1), Integer(0), Integer(1)/Integer(4), Integer(1))
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

因此,\(z(1)\approx 0.65\).

我们还可以绘制点 \((x,y)\) 以获得曲线的近似图。 函数 eulers_method_2x2_plot 将执行此操作; 为了使用它,我们需要定义函数 \(f\)\(g\), 它们接受一个带有三个坐标的参数:(\(t\), \(x\),`y`)。

sage: f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)
>>> from sage.all import *
>>> f = lambda z: z[Integer(2)]        # f(t,x,y) = y
>>> g = lambda z: -sin(z[Integer(1)])  # g(t,x,y) = -sin(x)
>>> P = eulers_method_2x2_plot(f,g, RealNumber('0.0'), RealNumber('0.75'), RealNumber('0.0'), RealNumber('0.1'), RealNumber('1.0'))

此时,P 存储了两个图: P[0], \(x\) 相对于 \(t\) 的图, 以及 P[1], \(y\) 相对于 \(t\) 的图。 我们可以通过如下代码绘制这两个图:

sage: show(P[0] + P[1])
>>> from sage.all import *
>>> show(P[Integer(0)] + P[Integer(1)])

(有关绘图的更多信息,请参见 绘图。)

特殊函数

Sage 利用 PARI [GAP] 和 Maxima [Max] ,实现了多种正交多项式和特殊函数。 这些函数在 Sage 参考手册的相应部分(“正交多项式”和“特殊函数”)中有详细文档。

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1
sage: bessel_I(1,1).n(250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1).n()
0.565159103992485
sage: bessel_I(2,1.1).n()
0.167089499251049
>>> from sage.all import *
>>> x = polygen(QQ, 'x')
>>> chebyshev_U(Integer(2),x)
4*x^2 - 1
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n(Integer(250))
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n()
0.565159103992485
>>> bessel_I(Integer(2),RealNumber('1.1')).n()
0.167089499251049

此时,Sage 仅将这些函数包装用于数值使用。 对于符号使用,请直接使用 Maxima 接口,如以下示例:

sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'
>>> from sage.all import *
>>> maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
>>> maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

向量微积分

参见 Vector Calculus Tutorial.